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ELEMENTOS Y CONJUNTOS

VAMOS A EXPLICAR COMO SE JUSTIFICA LA EXISTENCIA DE UN CONJUNTO

RECORDANDO LA DEFINICION DE GEORG CANTOR

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente. (WIKIPEDIA)

PROPIEDADES

Se llaman propiedades a los predicados que expresan lo que se atribuye a un objeto en una colección o conjunto.

En la simbología lógica se les identifica con letras mayúsculas, tal como se hace con los conjuntos: F, G, H, ... son llamadas "letras predicados". Por ejemplo:

  • F = "ser niño"
  • G = "ser adolescente"
  • H = "ser adulto"
    •

Las letras predicados preconizan la presencia de una clase, la cual va a caracterizar a otros objetos llamados elementos. Estos objetos pueden estar agrupados en un agregado, es decir en un conjunto.

Un conjunto es lo más parecido a un campo cultivado, en el cual algunos mecanismos independientes del sentido de agrupación que lo caracteriza o justifica provocan que sus elementos posean ciertas propiedades, y que dichas propiedades puedan ser expresadas como predicados sobre los elementos.

  1. La expresión lógica que vincula a los elementos del conjunto, con sus propiedades visibles o apreciables, se llama clase. Una clase implica la existencia o presencia de una o mas propiedades en una colectividad de objetos, estén o no agrupados. Por lo tanto una clase no tendrá las mismas funciones lógicas que un conjunto.
  2. El símbolo lógico que indica el vínculo entre una propiedad y un objeto suele ser el siguiente: F(x). En este símbolo F es la propiedad supuesta y x es el objeto sobre el cual se atribuye dicha propiedad.

    3. Por ejemplo, suponiendo que hay una persona llamada Carlos, al cual representaremos por x: la expresión simbólica F(x) querrá decir "Carlos es un niño", cuando F es la propiedad de "ser niño".
  3. El símbolo lógico que engloba tanto la presencia de un objeto o elemento, como una propiedad atribuída al mismo, se llama ABSTRACTO y viene a ser la representación simbólica de una clase. Su expresión simbólica esencial se redacta asi: x:F(x), y se lee "LA CLASE DE LOS ELEMENTOS x TALES QUE LA PROPIEDAD F LES ES ATRIBUIDA..." Este vínculo que tiene tres aspectos jerárquicos, como las capas de una cebolla usualmente se escribe abreviadamente con los siguientes símbolos: x Î A. En este caso, el símbolo Î puede considerarse sinónimo de "ser", y el símbolo puede interpretarse como "x pertenece a la clase A", "x es lo que A implica ser". La simbología aquí utilizada se puede explicar de la siguiente manera:
    1. La letra x es llamada argumento. Ser un argumento, es lo que permite al elemento de un conjunto recibir la atribución de una propiedad.
    2. Î, es el llamado símbolo de pertenencia, se lee "PERTENECE A..."
    3. Su opuesto es el símbolo de no pertenencia, o de negación de la pertenencia Ï, se lee "NO PERTENECE A..."
    4. A, es el abstracto o la fórmula lógica que encierra los tres aspectos participantes de la noción de clase: la clase como capa superior, la propiedad como capa intermedia, y el argumento o elemento como capa interior de la estructura.

    Por ejemplo, si Carlos es una persona a la cual identificamos por la letra x, y la letra A identifica a la clase de "los niños", entonces la fórmula x Î A se lee "Carlos pertenece a la clase de los niños". Si esto resulta ser cierto para Carlos, entenderemos que Carlos no tiene las propiedades de "ser adolescente" y de "ser adulto".

  4. Aunque A, como clase, se atribuye a si misma la posesión del elemento, no se trata de la misma entidad a la cual llamamos conjunto, la cual también se atribuye la posesión del tal elemento. Esto sucede así porque la clase es una noción abstracta, mientras que el conjunto es una entidad concreta.

Por ejemplo: tenemos el conjunto de las personas altas, y al conjunto de los niños, y a Carlos que es un niño alto, y a Pedro que es un niño bajito. Ambos, Carlos y Pedro, podrán integrar el conjunto de los niños, pero Pedro no podrá integrar el conjunto de las personas altas. La razón es que para que un elemento se inserte dentro de un conjunto, deberá pasar la prueba de la pertenencia a una clase específica. La noción de conjunto no podrá limitar a la noción de clase, puesto que en el conjunto de los niños podrán coexistir tanto niños altos como niños bajitos, mientras que en el conjunto de las personas altas podrán coexistir tanto los adultos, como los adolescentes y los niños. Es más, la intermediación de una clase, para que un elemento se inserte en un conjunto (por ejemplo cuando el niño alto se inserta en el conjunto de personas altas), no implica que el otro conjunto (el de los niños) pueda incluírse en el primer conjunto mencionado). Si la pertenencia a una clase le permite a un elemento pertenecer a mas de un conjunto, la mera pertenencia a un conjunto no le permitirá a un elemento el pertenecer a mas de una clase. Clase y conjunto son entidades de distinta naturaleza, aunque su relación con los elementos se exprese con la misma simbología lógica (pertenencia).

PERTENENCIA DE UN ELEMENTO A UN CONJUNTO

Es mucho mas sencillo definir un conjunto, asignándole la función de encerrar a una serie de objetos, los cuales pasan a ser llamados elementos. Si tenemos un conjunto cualquiera, al cual lo indentificamos con la letra P, tendremos que considerar identificar a cualquier elemento que encierre con una letra, que puede ser x o cualquiera otra letra argumento. Luego una expresión como "x pertenece al conjunto P", tendrá que representarse con los mismos símbolos que se usaron cuando se dijo que un objeto pertenece a una clase, en este caso es decir: xÎP. Esto ocurrirá así porque la simbología abrevia tanto el motivo de la existencia del conjunto, como el concepto de clase, y en consecuencia la relación entre propiedad y elemento sobre el cual cae, que cerrando el ciclo es un miembro del conjunto.

NO PERTENENCIA DE UN ELEMENTO A UN CONJUNTO

La negación de la situación anterior, en la cual un elemento cualquiera x pertenece a un conjunto P, se escribe asi: xÏP y se lee "x NO PERTENECE al conjunto P".

Negar la pertenencia de un elemento a un determinado conjunto, no equivale a negar la pertenencia de dicho elemento a una clase específica a la cual pertenezcan los elementos que si están encerrados en dicho conjunto. Esto ocurre así porque clase y conjunto son al final entidades distintas, coexistentes en un solo proceso de pensamiento abstracto.

CUANTIFICADORES

Una agrupación de objetos, de cualquier naturaleza, ya sean abstractos o bien concretos, debe ser correlativa con alguna idea de cuántos elementos se están tomando en cuenta.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Es la partícula lógica que asigna una clase o propiedad a TODOS los objetos de la colección.

  • Su símbolo es: ", el cual se lee "PARA TODO..."
  • Se escribe como elemento introductorio de una cuantificación.

    • La expresión simbólica " xÎP : F(x) , se lee: "PARA TODO (elemento) x QUE PERTENECE AL CONJUNTO P, (la propiedad) F se cumple...".

    CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

    Es la partícula lógica que asigna una clase o propiedad a AL MENOS UNO DE los objetos de la colección.

  • Su símbolo es: $, el cual se lee "EXISTE AL MENOS UN..."
  • Se escribe como elemento introductorio de una cuantificación.
    • p>La expresión simbólica $ xÎP : F(x) , se lee: "EXISTE AL MENOS UN (elemento) x QUE PERTENECE AL CONJUNTO P, PARA EL CUAL (la propiedad) F se cumple...".

    UTILIDAD Y NECESIDAD DE LOS CUANTIFICADORES

    Los cuantificadores usualmente han sido omitidos de la explicación formal de los problemas matemáticos, y esto es el motivo de muchas confusiones en la interpretación de las fórmulas de la matemática.

    Omitir los cuantificadores en la redacción de un problema, o en su planteamiento, o en su interpretación, o en su traducción al lenguaje simbólico, hace que los estudiantes desvinculen la noción de CONJUNTO SOLUCIÓN del resto de la estructura lógica de un problema.

    Por ejemplo: decir x + y = 3, hará suponer al estudiante que solamente habrán dos entidades, x e y, que sumadas den el valor 3. Sin embargo, al decir "EXISTEN DOS VALORES, x e y, QUE PERTENECEN AL CONJUNTO P, tales que x + y = 3" permitirá al estudiante revisar los posibles valores para x e y, dentro de un conjunto específico. El problema, redactado correctamente usando cuantificadores, es el que permite el aprendizaje de la técnica correcta para resolverlo.

    Autor Jose Guardado, Lima-Guatemala, 2007.