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LOS NÚMEROS NATURALES

VAMOS A EXPLICAR COMO SE DEFINEN LOS NÚMEROS QUE INCIALMENTE FUERON USADOS PARA CONTAR COSAS.


POSTULADOS DE PEANO

El matemático italiano PEANO, definió una serie de axiomas que describen al conjunto de los números naturales, de la siguiente manera:

  • 1 es un número.
  • El sucesor inmediato de un número también es un número.
  • 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
  • Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.
  • Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.

Fuente: WWW.WIKIPEDIA.ORG

CONSECUENCIAS DE LOS POSTULADOS DE PEANO

1 es un número.

  • El conjunto de números al que pertenece el 1 es no vacío.
  • El sucesor inmediato de un número también es un número.

  • Dado el primer elemento de un conjunto de números, el elemento que le sigue también es un número, y este número será llamado sucesor inmediato de aquel primero.
  • 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.

  • El conjunto de números en el cual el 1 no es sucesor de algún otro número, tiene como primer elemento al 1.
  • Cualquier otro número que acompañe al 1 en este conjunto de números así definido, tiene que ser el sucesor de 1 o el sucesor de algún numero distinto de 1.
  • 1 será el menor número de este conjunto que lo encierra, y su sucesor será mayor que él.
  • Entre 1 y su sucesor inmediato hay una relación de orden, en la cual 1 es el menor y su sucesor inmediato es el mayor.
  • Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.

  • Un número del conjunto definido, en el cual el 1 sea el primer elemento, no puede ser sucesor de si mismo.
  • El sucesor de 1 es un número distinto de 1.
  • Si el sucesor inmediato de 1 es distinto de 1, y 1 no es sucesor de ningún número, y tanto 1 como su sucesor están presentes en el conjunto, entonces 1 es el menor número definido en este conjunto, y su sucesor inmediato es mayor que él.
  • La diferencia entre el 1 y su sucesor inmediato, no puede ser menor ni mayor que la cantidad que esté representada por el 1 mismo, es decir por la cantidad que representa el menor número definido en el conjunto así considerado.
  • Todo número que acompañe al 1 y su sucesor inmediato, es el sucesor inmediato de algun número.
  • El 1 y su sucesor inmediato forman en si mismos un conjunto ordenado, del menor al mayor.
  • Toda propiedad perteneciente a 1, y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad, pertenece a todos los números.

  • Si el sucesor de 1 tiene una distancia al mismo 1 representada por la mínima cantidad que se pueda representar en el conjunto así formado, que es el 1 mismo, entonces la distancia entre cualquier número del conjunto y su sucesor inmediato es igual a la distancia existente entre el 1 y el sucesor inmediato de 1.
  • 1, la cantidad menor definida en este conjunto de números, es la distancia o diferencia que hay entre un número cualquiera del conjunto y su sucesor inmediato.
  • Dado cualquier número de este conjunto, que no sea 1, tendrá un sucesor que será mayor que él mismo.

  • Todo número del conjunto, por muy grande que sea, siempre tendrá un sucesor inmediato, por lo que el conjunto no tendrá un mayor o último número definible.
  • Si en un conjunto de números, todo aquel número que se defina es el sucesor inmediato de otro a excepción del menor número del conjunto, entonces dicho conjunto está ordenado.
  • IMPORTANCIA HISTORICA DE LOS NUMEROS NATURALES

    La historia de la matemática evidencia que los números del lenguaje natural, fueron aquellos que se usaron originalmente para contar. Culturalmente es apropiado llamar a estos números como NUMEROS NATURALES.

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    Los NÚMEROS NATURALES son universales, es decir son conocidos por todas las culturas, independientemente de su asentamiento geográfico y grado de desarrollo.

    El cero como número natural, solamente cumple la función de representar la ausencia de cantidad, o el estado de no contar nada.

    El cero como cifra o indicador de la posición en un sistema de representación de cantidades, o de números, solamente fué usado por muy pocas culturas de la antiguedad, entre éstas los caldeos, los mayas y los egipcios, con distinto grado de eficiencia. Luego, fueron los hindúes quienes lo introdujeron como elemento formal de la escritura de los números en el sistema DECIMAL.

    Es discutible, o mas bien debatible, si el acto de NO CONTAR puede adherirse al acto de CONTAR, que está implicado en la razón de la existencia de los NUMEROS NATURALES.

    La adherencia del 0 al conjunto de los números naturales no tiene implicaciones lógicas significativas.

    EXPRESION EXTENSIVA DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

    Si el conjunto de los números naturales cumple con los AXIOMAS O POSTULADOS DE PEANO, entonces puede expresarse como un conjunto, en forma extensiva, de la siguiente manera:

  • N ES EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
  • 1 ES EL PRIMER NUMERO NATURAL.
  • LA DIFERENCIA ENTRE UN NUMERO NATURAL Y SU SUCESOR INMEDIATO SERA 1, EL CUAL ES EL MENOR NÚMERO DEFINIDO EN ESTE CONJUNTO.
  • NO HABRÁ UN ULTIMO O MAYOR NÚMERO NATURAL QUE DEFINIR.
  • LA SIMBOLOGIA EXTENSIVA PERMITIRA ESCRIBIR: N = {1, 2, 3, ...}
  • OPERACIONES BIEN DEFINIDAS EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

    SUMA

  • PROPIEDAD DE CERRADURA DE LA SUMA DE NATURALES: al sumar dos naturales cualesquiera a y b, su suma será otro número natural c.
  • PROPIEDAD DE CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA: el orden de los sumandos no altera la suma.
  • PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA: la suma de naturales debe hacerse en forma binaria, tomando dos números a la vez, comenzando desde la izquierda o desde la derecha, hasta incorporar todos los sumandos al resultado.
  • En la suma de números naturales no están bien definidas las propiedades del NEUTRO ADITIVO y del INVERSO ADITIVO.
  • MULTIPLICACION

  • PROPIEDAD DE CERRADURA DEL PRODUCTO DE NATURALES: al multiplicar dos naturales cualesquiera a y b, su producto o multiplicación será otro número natural c.
  • PROPIEDAD DE CONMUTATIVIDAD DE LA MULTIPLICACION: el orden de los factores no altera el producto.
  • PROPIEDAD ASOCIATIVA DEL PRODUCTO: el producto de naturales debe hacerse en forma binaria, tomando dos factores a la vez, comenzando desde la izquierda o desde la derecha, hasta incorporar todos los factores al producto.
  • PROPIEDAD DEL NEUTRO MULTIPLICATIVO: existe un único número natural, que al multiplicarse por cualquier otro, no lo cambia. Este número es único, es llamado el NEUTRO, y es el 1.
  • No existe la propiedad del INVERSO MULTIPLICATIVO en los naturales.
  • POTENCIACION

  • La potenciación es una forma abreviada de la multiplicación, y en consecuencia tiene las mismas propiedades que ésta.
  • OPERACIONES MAL DEFINIDAS EN EL CONJUNTO DE NATURALES

  • La resta está mal definida en los números naturales, porque no tiene la propiedad de cerradura. Esta característica hace que se formen los números ENTEROS.
  • La división no está bien definida en el conjunto de los números naturales , porque no tiene la propiedad de cerradura. Esto obliga a formar los números racionales.
  • La radicación tampoco está bien definida en el conjunto de los números naturales, por las mismas razones de la resta y la división. Esto obliga posteriormente a formar los números irracionales.

  • Autor Jose Guardado, Lima-Guatemala, 2007.