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CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS ENTEROS

ESTUDIAREMOS LAS PROPIEDADES O CARACTERISTICAS DE LOS NÚMEROS ENTEROS.


FUNDAMENTOS PARA TENER UN CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

El conjunto de números enteros se forma de la necesidad de explicar la resta en los números naturales.

Recordamos que en los números naturales, no es posible establecer el resultado de la resta entre un número cualquiera y otro número que sea mayor que él.

SUBCONJUNTOS DE NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por:

  1. Todos los números menores que 0: se escriben con signo negativo, y es el conjunto de todos los inversos aditivos de los números de signo positivo. Todos los enteros negativos son menores que 0, y son menores que cualquier número positivo.
  2. El cero: es un número sin signo, es el resultado único que arroja la suma de un número entero cualquiera, con su inverso aditivo. El 0 es mayor que cualquier número negativo, y menor que cualquier número positivo.
  3. Todos los números mayores que 0: se escriben sin signo, o con un signo positivo delante; es idéntico al conjunto de números naturales, y también se puede considerar como el conjunto de todos los inversos aditivos de los números con signo negativo. Todos los números enteros positivos son mayores que 0, y en consecuencia mayores que cualquier número negativo.

En está gráfica dinámica se muestra la posición de los tres subconjuntos de los números enteros, a lo largo de una línea métrica (usualmente llamada RECTA NUMÉRICA).

e0_1z (20K)

SUCESIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros puede visualizarse como una serie de datos discretos, ordenados sobre una línea métrica llamada usualmente RECTA NUMÉRICA.

Esta serie de datos está ordenada, del menor al mayor. De esta manera los tres subconjuntos mencionados arriba (ENTEROS NEGATIVOS, CERO Y ENTEROS POSITIVOS) pueden ensamblarse en una sola sucesión de valores ordenados. Tomando cualquier número entero, el siguiente, o su SUCESOR, puede obtenerse sumándole 1, de la manera en que se define en la siguiente gráfica:

e0_prog1 (33K)

No existe un primer número entero negativo, por lo tanto no se puede definir un número entero negativo que sea el mas pequeño de todos; sin embargo, si existe un último entero negativo, el cual es el - 1, y al mismo tiempo es el mayor número entero negativo.

No existe un último número entero positivo, por lo cual no puede decirse cual es el mayor número entero positivo. Sin embargo, se puede definir el primer entero positivo, el cual es el + 1; por lo tanto el menor número entero positivo es el + 1.

Esta situación se visualiza claramente si colocamos la RECTA NUMERICA en una posición que nos refiera a una situación que nos es mas familiar, para entender cuál es el tamaño comparativo entre varios números enteros, y el cero:

e0_prog2 (35K)

Conforme vamos agregando unidades, a partir de cualquier número entero, vamos definiendo una mayor área cubierta, de manera semejante a como si fuésemos llenando un recipiente, agregando una gota a la vez. Por este motivo podemos decir que los números enteros negativos representan "menor cantidad" que el cero, y que los enteros positivos. De manera parecida decimos que el 0 representa una "mayor cantidad" que la representada por cualquier número entero negativo, y así sucesivamente.

Por esta misma razón es que sumar es aumentar, y se puede considerar en el siguiente sentido:

  1. Sumar una cantidad positiva, es hacer crecer el número al cual se suma.
  2. "Sumar" una cantidad negativa, es hacer disminuir el número al cual se "suma". A esta operación es a la que comúnmente le llamamos resta.
  3. Cuando sumamos dos números positivos, tendremos una cantidad mayor que los sumandos.
  4. Cuando "sumamos" dos números negativos, vamos a obtener una cantidad menor que los sumandos.

OPERACIONES BIEN DEFINIDAS EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Para que una operación binaria (suma, resta, multiplicación o división) esté bien definida en los números enteros, el resultado de dicha operación debe ser otro número entero. A esta propiedad se le llama PROPIEDAD DE CERRADURA DE UNA OPERACION EN UN CONJUNTO DE NUMEROS. Las condiciones observadas son las siguientes:

  1. LA SUMA ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NÚMEROS ENTEROS.
  2. LA RESTA ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, SIENDO UN CASO ESPECIAL DE LA MISMA SUMA
  3. LA MULTIPLICACION ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, SIENDO UN CASO ESPECIAL DE LA SUMA, IGUALMENTE.
  4. LA DIVISION NO ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, PUES NO TODAS LAS DIVISIONES DE DOS ENTEROS VA A DAR OTRO NUMERO ENTERO.
  5. LA POTENCIACION ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, PUES ES UN CASO ESPECIAL DE LA MULTIPLICACION, Y EN CONSECUENCIA UN CASO ESPECIAL DE LA SUMA.
  6. LA RADICACION NO ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, PUES NO TODOS LOS RADICALES DE NUMEROS ENTEROS VAN A SER OTROS NUMEROS ENTEROS.

VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO

En forma concreta, el valor absoluto de un número entero se define como el valor numérico de la distancia que lo separa del 0 en la RECTA NUMÉRICA.

El VALOR ABSOLUTO de un número entero es independiente del signo del número, y en consecuencia de la posición relativa que ocupa dicho número en la RECTA NUMÉRICA, con respecto del 0, el cual es el origen de dicho sistema métrico.

La relación entre el VALOR ABSOLUTO y el número se indica colocando el número entre dos barras verticales, con todo y su signo.

El VALOR ABSOLUTO es un número sin signo, o por definición positivo.

Esto queda ejemplificado en la siguiente gráfica:

e0_valabs (24K)

Autor Jose Guardado, Lima-Guatemala, 2007.