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ELEMENTOS DE UN NÚMERO RACIONAL
Todo número racional puede escribirse como una RAZÓN. Una razón será
entonces dos cosas: a) Una cantidad, y b) una forma de representar una
cantidad.
Simbólicamente ambas cosas llevan a tener un retrato análitico del
NÚMERO RACIONAL, el cual está representado por dos partes:
- EL NUMERADOR: es el símbolo o conjunto de símbolos que representa
CUANTAS PORCIONES ESTÁN REPRESENTADAS.
- EL DENOMINADOR: es el símbolo o conjunto de símbolos que
representa el TAMAÑO DE LAS PORCIONES REPRESENTADAS.
TIPOS DE CANTIDADES EXPRESADAS POR NÚMEROS RACIONALES
Teniendo en cuenta esta forma de construir los elementos del conjunto
de números racionales vamos a tener las siguientes condiciones:
Siendo a y b, cualesquiera números enteros positivos, y por lo tanto
no siendo cero, entonces pueden darse estas situaciones;
- a/a :
el numerador es igual al denominador, el número racional
representa la unidad.
- a/b, siendo a < b:
el numerador es menor que el denominador,
el número racional representa una FRACCIÓN PROPIA, es decir una cantidad
menor que la unidad.
- a/b, siendo a > b:
el numerador es mayor que el denominador,
el número racional representa una FRACCIÓN IMPROPIA, es decir una
cantidad mayor que la unidad, en la cual una determinada cantidad de
unidades tiene adherida una determinada cantidad de fracciones. Dichas
cantidades pueden representarse alternativamente como un NÚMERO MIXTO.
Si el número existe, y puede expresarse como el cociente entero exacto
del numerador entre el denominador, entonces el número racional dado
estará representando un NÚMERO ENTERO.
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Estaremos en la posición adecuada para enunciar que existe un conjunto
de números llamado CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES, con los siguientes elementos:
- La clase de los NÚMEROS RACIONALES se identificará con el signo Q.
- Los miembros de esta clase se escriben como NÚMEROS QUEBRADOS, de la forma
a/b, en donde a y b son cualesquiera números enteros.
- El conjunto que agrupa a estos números se llamará CONJUNTO DE NÚMEROS
RACIONALES.
- Los elementos del conjunto de NÚMEROS RACIONALES están ordenados, en
el sentido de que si a/b y c/d son dos racionales, y si
a/b ¹ c/d,
entonces debe cumplirse que
a/b < c/d, o que a/b > c/d.
- Dos números racionales cualesquiera, a/b y c/d, en los que se cumple que
a/b < c/d, constituyen en si mismos un conjunto especial llamado
intervalo cerrado,
el cual tiene la propiedad de densidad. Dicha propiedad establece que entre
dos números racionales así definidos puede establecerse una infinidad de
números racionales de la forma m/n, tales que para cualquiera de ellos
se podrá establecer que
a/b
£
m/n
£
c/d.
- En un intervalo cerrado cualquiera de números racionales puede establecerse
un primer y un último elemento, pero la cantidad de números definibles
entre estos dos no podrá contarse. Dicho intervalo se definirá en forma
extensiva asi
I = {a/b, ... , c/d},
donde a/b y c/d serán el primer y el último elemento respectivamente.
- El conjunto de NÚMEROS RACIONALES no tiene un primer elemento que
pueda llamarse el menor, ni un último elemento que pueda llamarse el mayor,
por lo que será un conjunto infinito. Tal clase de elementos primero y último no
pueden definirse.
- El conjunto de NÚMEROS RACIONALES y cualquier INTERVALO CERRADO definido entre
dos de sus elementos compartirán la característica de no poder enumerarse, o
de poder indicarse cuantos elementos tienen, pero no la característica
de no tener mayor y menor elemento. De alguna manera, se puede hacer que un intervalo cualquiera
de números racionales se parezca al mismo conjunto de racionales, pero sin llegar a ser igual
a éste. Los números racionales manifiestan la tendencia de acercarse el uno al otro indefinidamente,
lo cual los hace buenos símbolos para representar la precisión de una medida.
- Los números racionales definidos en el intervalo abierto
-1 < a/b < 0,
o en el intervalo abierto
0 < a/b < 1,
se representan con un numerador a de menor valor absoluto que el
valor absoluto de su denominador b, y recibirán el nombre de FRACCIONES
PROPIAS o VERDADERAS FRACCIONES DE LA UNIDAD.
- Todos los números racionales que no estén definidos en cualquiera de estos intervalos
serán llamados FRACCIONES IMPROPIAS.
- En el conjunto de NÚMEROS RACIONALES estarán bien definidas las
operaciones binarias de SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION Y POTENCIACION, pero
no la operación de RADICACION.
- Los elementos del conjunto de NUMEROS RACIONALES representan satisfactoriamente
a cualquier elemento del conjunto de NÚMEROS ENTEROS y del conjunto de NÚMEROS
NATURALES. En consecuencia el conjunto
Q = {..., -1, ... , 0, ... , 1, ... }
se constituye en una representación del conjunto de NÚMEROS RACIONALES.
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