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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

VAMOS A EXPLICAR LOS CRITERIOS PARA COMPARAR Y AGRUPAR NÚMEROS RACIONALES.


ELEMENTOS DE UN NÚMERO RACIONAL

Todo número racional puede escribirse como una RAZÓN. Una razón será entonces dos cosas: a) Una cantidad, y b) una forma de representar una cantidad.

Simbólicamente ambas cosas llevan a tener un retrato análitico del NÚMERO RACIONAL, el cual está representado por dos partes:

  • EL NUMERADOR: es el símbolo o conjunto de símbolos que representa CUANTAS PORCIONES ESTÁN REPRESENTADAS.
  • EL DENOMINADOR: es el símbolo o conjunto de símbolos que representa el TAMAÑO DE LAS PORCIONES REPRESENTADAS.

TIPOS DE CANTIDADES EXPRESADAS POR NÚMEROS RACIONALES

Teniendo en cuenta esta forma de construir los elementos del conjunto de números racionales vamos a tener las siguientes condiciones:

Siendo a y b, cualesquiera números enteros positivos, y por lo tanto no siendo cero, entonces pueden darse estas situaciones;

  • a/a : el numerador es igual al denominador, el número racional representa la unidad.
  • a/b, siendo a < b: el numerador es menor que el denominador, el número racional representa una FRACCIÓN PROPIA, es decir una cantidad menor que la unidad.
  • a/b, siendo a > b: el numerador es mayor que el denominador, el número racional representa una FRACCIÓN IMPROPIA, es decir una cantidad mayor que la unidad, en la cual una determinada cantidad de unidades tiene adherida una determinada cantidad de fracciones. Dichas cantidades pueden representarse alternativamente como un NÚMERO MIXTO. Si el número existe, y puede expresarse como el cociente entero exacto del numerador entre el denominador, entonces el número racional dado estará representando un NÚMERO ENTERO.

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Estaremos en la posición adecuada para enunciar que existe un conjunto de números llamado CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES, con los siguientes elementos:

  1. La clase de los NÚMEROS RACIONALES se identificará con el signo Q.
  2. Los miembros de esta clase se escriben como NÚMEROS QUEBRADOS, de la forma a/b, en donde a y b son cualesquiera números enteros.
  3. El conjunto que agrupa a estos números se llamará CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES.
  4. Los elementos del conjunto de NÚMEROS RACIONALES están ordenados, en el sentido de que si a/b y c/d son dos racionales, y si a/b ¹ c/d, entonces debe cumplirse que a/b < c/d, o que a/b > c/d.
  5. Dos números racionales cualesquiera, a/b y c/d, en los que se cumple que a/b < c/d, constituyen en si mismos un conjunto especial llamado intervalo cerrado, el cual tiene la propiedad de densidad. Dicha propiedad establece que entre dos números racionales así definidos puede establecerse una infinidad de números racionales de la forma m/n, tales que para cualquiera de ellos se podrá establecer que a/b £ m/n £ c/d.
  6. En un intervalo cerrado cualquiera de números racionales puede establecerse un primer y un último elemento, pero la cantidad de números definibles entre estos dos no podrá contarse. Dicho intervalo se definirá en forma extensiva asi

    I = {a/b, ... , c/d},

    donde a/b y c/d serán el primer y el último elemento respectivamente.
  7. El conjunto de NÚMEROS RACIONALES no tiene un primer elemento que pueda llamarse el menor, ni un último elemento que pueda llamarse el mayor, por lo que será un conjunto infinito. Tal clase de elementos primero y último no pueden definirse.
  8. El conjunto de NÚMEROS RACIONALES y cualquier INTERVALO CERRADO definido entre dos de sus elementos compartirán la característica de no poder enumerarse, o de poder indicarse cuantos elementos tienen, pero no la característica de no tener mayor y menor elemento. De alguna manera, se puede hacer que un intervalo cualquiera de números racionales se parezca al mismo conjunto de racionales, pero sin llegar a ser igual a éste. Los números racionales manifiestan la tendencia de acercarse el uno al otro indefinidamente, lo cual los hace buenos símbolos para representar la precisión de una medida.
  9. Los números racionales definidos en el intervalo abierto

    -1 < a/b < 0,

    o en el intervalo abierto

    0 < a/b < 1,

    se representan con un numerador a de menor valor absoluto que el valor absoluto de su denominador b, y recibirán el nombre de FRACCIONES PROPIAS o VERDADERAS FRACCIONES DE LA UNIDAD.
  10. Todos los números racionales que no estén definidos en cualquiera de estos intervalos serán llamados FRACCIONES IMPROPIAS.
  11. En el conjunto de NÚMEROS RACIONALES estarán bien definidas las operaciones binarias de SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION Y POTENCIACION, pero no la operación de RADICACION.
  12. Los elementos del conjunto de NUMEROS RACIONALES representan satisfactoriamente a cualquier elemento del conjunto de NÚMEROS ENTEROS y del conjunto de NÚMEROS NATURALES. En consecuencia el conjunto

    Q = {..., -1, ... , 0, ... , 1, ... }

    se constituye en una representación del conjunto de NÚMEROS RACIONALES.

Autor Jose Guardado, Lima-Guatemala, 2007.