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CONCEPTO DE CONJUNTO DE NUMEROS REALES
El conjunto de los números REALES se simboliza por
Â
El conjunto de los números REALES contiene a los números RACIONALES
(R)
y a los
números IRRACIONALES
(I).
De esta manera se cumplen estos enunciados:
- Los REALES, resultan de unir los RACIONALES Y LOS IRRACIONALES:
R È I =
Â
- Los RACIONALES son el complemento de los IRRACIONALES:
RC = I
- Los IRRACIONALES son el complemento de los RACIONALES:
IC = R
- Los RACIONALES son un subconjunto propio de los REALES:
R
Ì
Â
- Los IRRACIONALES son un subconjunto propio de los REALES:
I
Ì
Â
- Los RACIONALES y los IRRACIONALES no tienen elementos comunes:
R Ç I =
Æ
AXIOMAS QUE DEFINEN LOS ELEMENTOS DE LOS NUMEROS REALES
Axiomas de la suma
Los elementos del conjunto de números reales son de tal manera que satisfacen
las siguientes propiedades o axiomas:
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" x, y, z Î Â
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Propiedad de cerradura de la suma
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(x + y) Î Â
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Propiedad conmutativa de la suma
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x + y = y + x
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Propiedad asociativa de la suma
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(x + y) + z = x + (y + z)
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Propiedad del neutro aditivo
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x + 0 = x, 0 Î Â
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Propiedad del inverso aditivo
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Si x + y = 0, Þ y = - x
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Axiomas del producto
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"
x, y, z Î
Â
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Propiedad de cerradura del producto
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(x y) Î Â
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Propiedad conmutativa del producto
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x y = y x
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Propiedad asociativa del producto
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(x y) z = x (y z)
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Propiedad del neutro del producto
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1 x = x, 1 Î Â
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Propiedad del inverso del producto
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Si x y = 1, Þ y = 1/x
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Axiomas de orden
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" x, y, z Î Â
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Exclusión del converso
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Si (x ¹ y) Þ (x < y) º (x > y)
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Propiedad de transitividad de la ordenación
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Si (x < y) Ù (y < z) Þ (x < z)
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Conservación del orden en la suma
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Si (x < y) Þ (x + z) < (y + z)
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Conservación del orden en el producto
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Si (x < y) Ù (0 < z) Þ (xz < yz)
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Variación del orden en el producto
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Si (x < y) Ù (z < 0) Þ (xz > yz)
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