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Division algebraica: DIVISION DE POLINOMIOS


 

 

Contenido

El proposito de esta operacion es dividir un polinomio entre otro polinomio. Las reglas anteriormente establecidas tienen que aplicarse con ligeras variantes, lo que constituye el ALGORITMO DE LA DIVISION ALGEBRAICA.
Antes de llevar a cabo la operacion deben realizarse las siguientes operaciones para organizar la informacion dada por los polinomios.
  1. Ordenar el dividendo y el divisor en el orden ascendente segun las potencias de una letra principal. En los ejercicios clasicos se usa la x, pero puede ser cualquier letra.
  2. Observar si falta alguna de las potencias de la letra principal en cualquiera de los dos polinomios. Si falta alguna de estas, en el lugar que debe ocupar se colocara un cero (0).
  3. El grado del dividendo, es decir la mayor potencia que tenga su letra principal, debe ser mayor o igual que la mayor potencia que tenga el divisor en la misma letra principal. Si esto no se cumple la division no se puede realizar.
En este ejemplo vamos a dividir las siguientes expresiones:
div3_ejemploa (1K)

Ordenacion del dividendo

  div3_polcompleto (6K)

En este ejemplo observamos que podemos formar un polinomio, acumulando las potencias de una letra principal (en esta caso la x), de tal manera que la expresion algebraica quedara ordenada segun sus potencias descendentes, desde la iquierda hacia la derecha.
Cuando falte una de esas potencias, se debera hacer un espacio, colocando un cero, en el lugar donde esta potencia falta.

div3_polincompleto (4K)

En este ejemplo, falta una de las potencias de la x, que es la letra principal, y en el lugar donde debia estar se agrega un cero. EL CERO NO TIENE SIGNO, ASI QUE NO IMPORTA MUCHO CUAL SIGNO LE PONE AL HACER EL ARREGLO.
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Ordenacion del divisor

  El divisor tambien debe ordenarse de acuerdo a las potencias descendentes de la letra principal, y tambien se le deben completar con ceros las potencias que falten. En el ejemplo que desarrollamos aca, este es el divisor, y esta completo.
div3_divisor (1K)

La operacion esta planteada de la siguiente manera:
div3_ejemplob (3K)
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Algoritmo de la division de polinomios

 

El procedimiento de esta division se explica en los siguientes pasos:
  1. Tomar el primer termino del dividendo y dividirlo entre el primer termino del divisor. Esto nos va a dar el primer termino del cociente
  2. Tomar el primer termino del cociente y multiplicarlo por todo el divisor, el resultado sera restado al dividendo, para simplificar dicho dividendo. En esta parte, el resultado de la multiplicacion se coloca debajo del dividendo, con el signo cambiado, para efectuar una RESTA.
  3. Con el dividendo asi simplificado mediante la resta anterior, se repite todo el procedimiento, para obtener el segundo termino del cociente, el tercer termino y asi sucesivamente. El procedimiento se repite hasta que ya no quede nada en el dividendo, o bien hasta que lo que queda del dividendo sea una expresion de menor grado que el divisor.
En este ejemplo ha quedado un residuo, por lo cual tenemos el caso de una division inexacta.

OTRA FORMA DE ENFOCAR EL DESARROLLO DEL ALGORITMO DE LA DIVISION

div3_animada02 (13K)
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EJEMPLOS DE DIVISIONES

En este ejemplo tenemos el caso de una división exacta, no hay residuo:

div4_ejemp1 (78K)

En este ejemplo tenemos el caso de una diferencia de cubos, dividida entre uno de sus factores (x-2), para obtener el otro factor, y completar una posible operación de factorización. De hecho esta es la manera en que se obtuvieron las fórmulas para factorizar sumas o diferencias de potencias iguales.

La primera parte del proceso es completar el polinomio del dividendo, con ceros, en las posiciones donde faltan potencias de la variable principal:

div4_ejemp2a (3K)

Luego aplicaremos el algoritmo de la división, de la manera usual:

div4_ejemp2 (6K)

La prueba de esta operación consiste en multiplicar el divisor por el cociente, lo cual nos dará de vuelta el dividendo:

div4_ejemp2b (2K)
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Autor Jose Guardado: todos los derechos reservados.
Última revisión: Junio, 2007, Lima.